기본공식
우선, $0\le x\le 2\pi$ 의 범위에서 연속인 함수 $f\left(x\right)$ 를 생각하자. 푸리에 급수는 주기함수(periodic function)가 어떠한 형태를 하고 있는지 관계없이 삼각함수(trigonometric function)의 무한급수(infinite series)로 표현할 수 있는 놀라운 공식이다.
$\begin{eqnarray} f\left(x\right) = c + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {a_n{cos(nx)}+b_n{sin(nx)}} \right] \end{eqnarray}$
그럼, 위 공식은 정말 「어떠한 형태의 함수라도」 전부 나타낼 수 있을까? 그렇지 않다.
$sin$, $cos$ 둘 다 위아래 같은 폭으로 진동하고 있기 때문에, 함수의 평균값은 $0$ 이 된다. 따라서, $sin$, $cos$ 을 아무리 더한다 하더라도 결국 평균값이 $0$ 인 함수 외에는 표현할 수가 없다. 이러한 약점을 보완하기 위해서 평균값인 $c$ 를 식에 도입시켰다.
계수를 구하는 방법
왜 이러한 공식이 성립하는지에 대한 설명은 나중으로 하고, 식$(1)$에서 나온 계수 $a_n, b_n$ 값을 어떻게 결정하면 식$(1)$ 이 성립할지에 대해서 설명하고자 한다.
그 전에, $c$ 는 함수 $f(x)$ 의 평균값이기 때문에, 다음과 같은 계산을 하면 그 값을 알 수 있다.
$\begin{eqnarray}c = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cdot dx\end{eqnarray}$
계수 $a_n, b_n$ 또한 식$(2)$ 와 비슷하며, 다음과 같이 구할 수 있다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)cos(nx)\cdot dx\\\\b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)sin(nx)\cdot dx\end{split}\end{eqnarray}$
식$(3)$ 를 보면 왜 $2\pi$ 로 나누지 않았는지, 왜 $sin, cos$ 함수를 곱해서 적분을 했는지 등등 여러가지 의문이 생길지도 모르겠다. 이제부터 하나씩 고민을 해보자.
$a_n$ 에 관한 식을 보면, $cos(nx)$ 와 $f(x)$ 를 곱해서 적분하고 있다. 즉, $0\le x\le 2\pi$ 의 범위내에서 $cos(nx)$ 와 $f(x)$ 가 비슷한 움직임을 보인다면 결과는 크게 나올것이고, 그렇지 않다면 서로 상쇄되어 작게 나올 것이라 예상할 수 있다. 요컨대, $f(x)$ 중에서 $cos(nx)$ 와 비슷한 움직임을 보이는 성분이 어느정도 있는지를 보여주는 작업이라 생각할 수 있다. 따라서, $0\le x\le 2\pi$ 의 범위에 걸쳐서 적분을 하고 있기 때문에, 그 평균을 구하기 위해 $2\pi$ 로 나누었다고 한다면 어느정도 의미는 이어질 것 같으나, $\pi$ 로 나누고 있다. 이것은 $b_n$ 에 대해서도 마찬가지이다.
식$(2)$ 와 $(3)$ 은 그 모양이 굉장히 비슷하다. 식$(3)$ 에서 $n=0$ 을 대입하면, $cos\ 0=1$ 이 되기 때문에, 식$(2)$ 와 모양이 동일한 식이 된다. 즉, 계산을 해보면 $c=a_0/2$ 가 되고, 이 결과를 식$(1)$ 에 대입하면 다음과 같은 식이 얻어진다.
$\begin{eqnarray} f\left(x\right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {a_n{cos(nx)}+b_n{sin(nx)}} \right] \end{eqnarray}$
식$(1), (4)$ 와 같이, 무한한 삼각함수의 합만으로 나타내어지는 급수를 「푸리에 급수」라 한다.
공식이 성립하는 이유
[그림1] $sin, cos$ 함수의 직교성 (출처 : wikipedia.org)
푸리에 급수의 계수가 식$(3)$ 과 같이 구해지는 이유를 알기위해서, 다음의 식을 알아보자.
$\begin{eqnarray}\begin{split}&\int_{0}^{2\pi}cos(mx) cos(nx)\cdot dx = \pi \delta_{m,n}\\\\&\int_{0}^{2\pi}sin(mx) sin(nx)\cdot dx = \pi \delta_{m,n}\\\\&\int_{0}^{2\pi}sin(mx) cos(nx)\cdot dx = 0\end{split}\end{eqnarray}$
단, $m, n$ 은 양의 정수이다. 오른쪽의 $\delta_{m,n}$ 은 Kronecker delta 라는 것으로, $m=n$ 이면 $1$ 이고, $m\neq n$ 이면 $0$ 이라는 것을 의미한다.
$Proof)$
$1)\ m\neq n$
$\begin{eqnarray}\begin{split}\int_{0}^{2\pi}cos(mx) cos(nx)\cdot dx &= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\{cos(m+n)x+cos(m-n)x\} \cdot dx \\\\&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{m+n}sin(m+n)x+\frac{1}{m-n}sin(m-n)x\right]_{0}^{2\pi} \\\\&= 0\end{split}\end{eqnarray}$
$2)\ m=n$
$\begin{eqnarray}\begin{split}\int_{0}^{2\pi}cos(mx) cos(nx)\cdot dx &= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\{cos(m+n)x+cos(m-n)x\} \cdot dx \\\\&= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\{cos(m+n)x+1\} \cdot dx \\\\&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{m+n}sin(m+n)x+x\right]_{0}^{2\pi} \\\\&= \pi \end{split}\end{eqnarray}$
식$(5)$ 은 다음과 같은정말 중요한 사실을 알려준다. $\{cos\ x, cos\ 2x, ..., sin\ x, sin\ 2x, ...\}$ 라는 함수들의 집합은 서로 곱하여 적분했을 때, 어떤 조합이더라도 $0$ 이외의 값을 가지지 않는다. 단, 자기자신과의 곱일 경우는 $\pi$ 가 된다.
자 이제, 다시 식$(3)$ 을 한 번 살펴보자. 식$(3)$ 의 우변에는 $f(x)$ 가 들어있다. $f(x)$ 는 식$(1)$ 과 같이 나타내어진다는 것을 가정하여, 식$(3)$의 우변에 대입하자. 그리고, 계산은 방금 위에서 계산한 식$(5)$의 결과를 이용하면, 식$(3)$ 의 좌변과 동일하게 되는 것을 알 수 있다. 또한, 아까 위에서 말했던, 식$(3)$ 을 보면 왜 $2\pi$ 로 나누지 않았는지에 대한 의문이 풀린다. 별 의미 없이 식$(6)$ 의 계산값으로 $\pi$ 가 나오기 때문이다.
주기의 일반화
지금까지, $0\le x\le 2\pi$ 의 범위만 생각했다. 하지만, $sin, cos$ 함수는 주기함수이므로, 이 범위 외에서도 같은 움직임을 몇 번이고 반복한다. 식$(4)$ 처럼 나타낸 함수$f(x)$ 에 대해서도 주기 $2\pi$ 로 같은 움직임을 반복한다.
지금까지는 모든 공식을 $0\le x\le 2\pi$ 의 범위에서 적분했지만, 하나의 주기에 걸쳐서 적분을 한다면 그 결과는 항상 동일하기 때문에, 범위를 바꾸어 적분해도 문제는 없다. 예를 들어, $-\pi\le x\le \pi$ 의 범위에서 적분을 해도 그 값은 동일하다.
그러면, 이제는 주기가 $2\pi$ 가 아닌 $2L$ 의 경우로 확장시켜 생각을 해보자.
$\begin{eqnarray}f\left(x\right) = \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right] \end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\begin{split}a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{+L}f(x)cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)\cdot dx\\\\b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{+L}f(x)sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)\cdot dx\end{split}\end{eqnarray}$
식$(8), (9)$ 가 주기가 $2L$ 인 경우로 확장한 푸리에 급수의 공식이다.
우함수(even function)와 기함수(odd function)
$sin$ 함수는 기함수이고, $cos$ 함수는 우함수이다. 만약, 어떠한 함수라도 푸리에 급수로 표현할 수 있다면, 어떤 함수라도 우함수와 기함수로 나누어서 표현할 수 있어야 한다. 함수 $f(x)$ 의 우함수 성분을 $f_even$, 기함수 성분을 $f_odd$ 라고 하면,
$\begin{eqnarray}\begin{split} f_{even} = \frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2} \\\\f_{odd} = \frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{split}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray} f\left(x\right) = f_{even}+f_{odd}\end{eqnarray}$
위와 같은 식으로 표현이 가능하며, 이 결과를 식$(4)$ 과 같이 한 번 생각해보자.
만약, 함수 $f(x)$ 가 우함수라면 $cos$ 함수만으로 표현이 될 수 있고, $f(x)$ 가 기함수라면 $sin$ 함수만으로 표현이 될 수 있다. 즉,
$\begin{eqnarray}\begin{split} If\ f\left(x\right)\ is\ even&,\ b_n = 0 \\\\ odd&,\ a_n = 0\end{split}\end{eqnarray}$
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