2. 푸리에 급수의 수렴 (Convergence of Fourier series)

                                                                                                                                                  

수렴에 대하여

주기 $2L$ 로 반복하는 주기함수 $f(x)$ 는 다음과 같은 푸리에 급수로 나타낼 수 있다는 얘기를 했다.

$\begin{eqnarray}f\left(x\right) = \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right] \end{eqnarray}$

하지만, 모든 주기함수에 있어서 등호가 성립하는가? 라는 의문에 대해서는 아직 확실하게 하지않았다.

이 급수의 우변이 첫번째 항부터 $m$ 번째 항까지만 더해진 함수를 $f_m(x)$ 라고 하자. 이 때, $\{f_1(x), f_2(x), f_3(x), ...\}$ 와 같은 함수열이 생길 것이다. 이 함수열이 조금씩 함수 $f(x)$ 에 접근하는지에 대해 확인하기 위해서, $|f(x)-f_m(x)|$ 를 생각해보자. $m \rightarrow \infty$ 일 때, 이 값이 $0$ 이 된다면 무한급수 $f(x)$ 는 수렴한다고 표현할 수 있다. 즉, 식$(1)$ 에서 등호가 의미하는 것은 이런 것이다.

$\begin{eqnarray} \lim_{m \rightarrow \infty} |f\left(x\right)-f_m\left(x\right)| = 0 \end{eqnarray}$

                                                                                                                                                  

수렴의 종류

잠시 푸리에 급수에 대한 얘기를 접어두고, 함수열에 대해서 이야기하자. 함수열 $\{f_1(x), f_2(x), f_3(x), ...\}$ 가 수렴한다고 해도, 수렴의 방식에는 여러가지가 있다.
(자세한 것은 수학에서 공부할 것..)

우선, 함수 전체를 보는 것이 아닌, 변수 $x$ 를 예를 들어서 $x_0$ 에 고정한 임의의 점만을 관찰하자. 이 때, $m$ 이 증가함에 따라서 $f_m(x_0)$ 가 점점 $f(x_0)$ 에 가까워진다고 하자. 이와 같은 수렴이 $x=x_0$ 에서만이 아닌 다른 곳에서도 일어난다고 하면, 그것을 「각점수렴」 (pointwise convergence)이라고 한다.

이번에는, 처음부터 함수의 전체를 보도록 하자. $f_m(x)$ 와 $f(x)$ 의 어긋남의 크기가 함수 어느 부분이건 일정 범위를 벗어나지 않고, $m$ 이 증가함에 따라서 그 범위의 폭이 $0$ 에 가까워져 간다면, 그것을 「평등수렴」(uniform convergence) 이라고 한다.

위의 두 개의 수렴은 닮았지만 조금은 다르다. 평등수렴이 상위개념이다.

마지막으로, 「평균수렴」(mean convergence) 이 있다. 계산이 가능한 다음 식의 정적분 값 $I_m$ 이 $m$ 이 증가함에 따라 $0$ 에 가까워지는 수렴이다.

$\begin{eqnarray} I_m = \int \left[ f(x)-f_m(x) \right]^2\cdot dx\end{eqnarray}$

어떤 의미로는, 전체 오차의 평균을 계산하고 있는 것 같은 식이다. 

                                                                                                                                                  

푸리에 급수의 수렴

자, 이제 다시 푸리에 급수로 돌아오자. 푸리에 급수의 경우에는 어떤 때에 어떤 종류의 수렴이 성립하고 있다고 말할 수 있을까?

간단하게 결과만 말하고 넘어가자.

$f(x), f^{'}(x)$ 가 둘 다 연속인 경우, 평등수렴
$f(x)$ 가 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 평등수렴
$f(x)$ 가 부분적으로 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴 한다.

                                                                                                                                                  

수렴하지 않는 함수의 예

앞서 말한 내용과 같다면, 대부분의 함수에서 푸리에 급수가 수렴한다고 말할 수 있을 것 같다. 그렇다면, 수렴하지 않는 함수는 무엇이 있을까? 도중에 무한대가 되는 함수가 있다. 가장 대표적인 예로 $tan\ x$ 와 $\frac{1}{x}$ 이 있다.

$\frac{1}{x}$ 이 간단해보이므로 한 번 계산해보자.
적분 범위를 $-L\le x \le +L$ 로 하면, $\frac{1}{x}$ 는 기함수이기 때문에 $sin$ 함수만으로 전개된다.

$\begin{eqnarray}\begin{split} b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} {\frac{1}{x} sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right) \cdot dx} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} {\frac{1}{x} sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right) \cdot dx} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{1}{\frac{L}{\pi}s} sin \left( ns \right) \cdot \left( \frac{L}{\pi} \right) ds} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{1}{s} sin \left( ns \right) \cdot ds} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{1}{\frac{1}{n}t} sin \left( t \right) \cdot \left( \frac{1}{n} \right) dt} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{sin t}{t} \cdot dt} \\\\&= \frac{2}{L}Si(\pi n) \end{split}\end{eqnarray}$

이 $Si(x)$ 의 그래프는 다음과 같다.

                      그림1.

따라서, $b_n$ 은 수렴하지 않는다는 것을 알았다.

                          그림2.

항의 갯수가 아무리 늘어나더라도 진동이 격해질 뿐, 함수 원래의 모습은 보이지 않는다.

                                                                                                                                                  

델타함수의 푸리에 급수

델타함수는 푸리에 급수가 수렴하지 않는 함수 중 하나이다. 델타함수는 무한값을 갖는 어떤 점을 갖고있기 때문이다. 지금부터 델타함수의 푸리에 급수가 어떻게 되는지 알아보자.

$\begin{eqnarray}\begin{split} &a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\delta(x)cos \left( n\frac{\pi}{L}x \right)\cdot dx = \frac{1}{L}cos\ 0 = \frac{1}{L} \\\\&b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\delta(x)sin \left( n\frac{\pi}{L}x \right)\cdot dx = \frac{1}{L}sin\ 0 = 0 \end{split}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\begin{split} \therefore F \left[ \delta(x) \right] = \frac{1}{L} \left[ 1+cos \left( \frac{\pi}{L}x \right)+cos \left( 2\frac{\pi}{L}x \right)+cos \left( 3\frac{\pi}{L}x \right)+ \cdots \right] \end{split}\end{eqnarray}$

                          그림3.

                                                                                                                                                  

깁스 현상(Gibbs phenomenon)

여러가지 함수의 푸리에 급수를 전개해보면, 적은 항으로도 함수 원래의 모양이 재현되는 경우가 있는 반면에, 아무리 많은 항을 더하더라도 재현되지 않는 경우도 있다. 그 차이는 어디에 있는 걸까?

갑작스런 모양의 변화가 없이 연속적인 함수에 비해, 중간에 불연속점이 있거나 연속이라 할지라도 구형파와 같은 형태의 경우는 푸리에 급수 전개를 했을 때, 함수의 원래 모양이 잘 재현되지 않는다. 급격한 갭의 전후로 overshoot & undershoot 이 발생하고, 이 부분은 항을 늘려도 없어지지 않는다.

                     [그림 5] 푸리에 급수의 깁스 현상 (출처 : wikipedia.org) 

위 그림과 같이 overshoot & undershoot 이 발생하는 현상을 「깁스 현상」 (Gibbs phenomenon) 이라고 한다. 

overshoot & undershoot 의 돌출부는 항의 수를 아무리 증가시켜도 없어지지 않는다. 최종적으로 그 돌출의 크기는 불연속적인 갭의 9%의 크기를 갖게된다고 알려져있다. 이 깁스현상이 $f(x)$ 가 부분적으로 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴하는 원인이다.

$\begin{eqnarray} {\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} {\frac{sin t}{t} \cdot dt} -1} \simeq 0.17898 = 2 \times 0.08949 \end{eqnarray}$

이 깁스 현상에 의한 돌출부는 푸리에 급수의 항을 늘리면 늘릴수록 그 폭은 점점 불연속점을 향해 좁아진다. 

       

                                                                                                                                                  

베셀의 부등식

이번에는 꽤 넓은 범위에서 수렴의 판단에 사용되는 평균수렴 식$(2)$에 대해서 알아보자. 식$(2)$ 를 조금 풀어서 쓰면 식$(8)$ 과 같이 된다.

$\begin{eqnarray}\begin{split} I_m &= \int_{0}^{2L} \left[ f(x)-f_m(x) \right]^2\cdot dx \\\\&= \int_{0}^{2L} \left[ f(x)^{2}-2f(x)f_m(x)+f_{m}(x)^{2} \right] \cdot dx \\\\&= \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx -2\int_{0}^{2L} f(x)f_m(x) \cdot dx+\int_{0}^{2L} f_{m}(x)^{2} \cdot dx \end{split}\end{eqnarray}$

위의 식에서 $1$ 번째 항은 그대로 두고, $2, 3$ 번째 항을 계산해보자.

$\begin{eqnarray}\begin{split} -2\int_{0}^{2L} f(x)f_m(x) \cdot dx &= -2\int_{0}^{2L} \{\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot \{\frac{a_0}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot dx \\\\&= -2 \left[ \frac{a_0^{2}}{4}2L+\sum^{m}_{n=1} L \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \\\\ \int_{0}^{2L} f_{m}(x)^{2} \cdot dx &= -2\int_{0}^{2L} \{\frac{a_0}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot \{\frac{a_0}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot dx \\\\&= \left[ \frac{a_0^{2}}{4}2L+\sum^{m}_{n=1} L \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \end{split}\end{eqnarray}$

결과 식$(9)$ 를 식$(8)$ 에 대입하면, 다음과 같은 식이 얻어진다.

$I_m$ 은 평균수렴에 대한 지표이며, $0$ 이상의 값을 갖는다.

$\begin{eqnarray}\begin{split} I_m &= \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx -2\int_{0}^{2L} f(x)f_m(x) \cdot dx+\int_{0}^{2L} f_{m}(x)^{2} \cdot dx \\\\&= \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx - L \left[ \frac{a_0^{2}}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \geq 0 \end{split}\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\begin{split} \therefore \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx \geq L \left[ \frac{a_0^{2}}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \end{split}\end{eqnarray}$

계산결과 얻어진 이 부등식을 「베셀의 부등식」(Bessel's inequality) 이라고 하며, 등호가 성립할 때는 「파르세발의 등식」(Parseval's theorem) 이라고 한다.

                                                                                                                                                  



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