오일러 공식(Euler's formula)
복소수에 대해서 배울 때, 다음과 같은 오일러 공식이 나온다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
e^{ix} = cos\ x+i \cdot sin\ x
\end{split}\end{eqnarray}$
이 공식을 이용하면, 삼각함수(trigonometric function)를 지수함수(exponential fuction)로 표현하는 것 또한 가능하다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
&cos\ x = \frac{1}{2} \left(e^{ix}+e^{-ix} \right)
\\\\&sin\ x = \frac{1}{2i} \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)
\end{split}\end{eqnarray}$
푸리에 급수는 $sin, cos$ 함수 만으로 이루어져있었기 때문에, 이 공식을 이용하면 지수함수 형태로 표현하는 것 또한 가능해진다. 식이 더 복잡해질지 아닌지에 대해서는 해보지 않으면 모르지만, 결과부터 말하자면 굉장히 간단해진다.
단, $a_n, b_n$ 은 다음과 같다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
&a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f \left(x \right) cos \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) dx
\\\\& b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f \left(x \right) sin \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) dx
\end{split}\end{eqnarray}$
자, 그럼 이제부터 오일러 공식을 이용해 복소 푸리에 급수 전개를 해보자. 식$(3)$ 에 $(2)$ 를 대입하자.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
f \left(x \right) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[{ a_{n} \cdot \frac{1}{2} \left(e^{i\frac{2\pi}{L} nx}+e^{-i\frac{2\pi}{L} nx} \right) + b_{n} \cdot \frac{-i}{2} \left(e^{i\frac{2\pi}{L} nx}-e^{-i\frac{2\pi}{L} nx} \right) }\right]
\\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[{ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} \right]
\\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}}}
\\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \sum^{-\infty}_{n=-1} { \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx}}}
\end{split}\end{eqnarray}$
여기서 잠깐 새로운 변수 $c_n$ 을 정의해서
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} \equiv &\frac{1}{2} \left(a_n-ib_n \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n<0)
\\\\& \frac{1}{2} \left(a_{-n}+ib_{-n} \right) \ \ \ \ (n<0)
\end{split}\end{eqnarray}$
위 식에 대입하면,
$\begin{eqnarray}\begin{split}
f \left(x \right) &= c_0 + \sum^{\infty}_{n=1} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} + \sum^{-\infty}_{n=-1} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }}
\\\\&= \sum^{\infty}_{-\infty} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }}
\end{split}\end{eqnarray}$
이와 같이, 굉장히 깔끔한 공식이 완성된다. $c_n$ 의 정의는 현재 $a_n, b_n$ 으로 표현되고 있다. 그렇다면, 이 변수 또한 지수함수로 바꿔보자.
$n>0$ 의 경우
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} &= \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}
\\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) - i sin\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx
\end{split}\end{eqnarray}$
$n<0$ 의 경우
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} &= \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}
\\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(-\frac{2\pi}{L} nx \right) + i sin\left(-\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx
\\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) - i sin\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx
\end{split}\end{eqnarray}$
마지막으로, $n=0$ 의 경우
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{0} = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) } dx
\end{split}\end{eqnarray}$
식$(10)$ 또한 $(8), (9)$ 에 $n=0$ 을 대입한 결과가 같다. 즉, $c_n$ 은 나눠서 생각할 필요가 없다는 것이 여기서 증명된다.
이와 같이, 식 $(7), (9)$ 처럼 표현되는 푸리에 급수를 「복소 푸리에 급수」 라고 한다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
e^{ix} = cos\ x+i \cdot sin\ x
\end{split}\end{eqnarray}$
이 공식을 이용하면, 삼각함수(trigonometric function)를 지수함수(exponential fuction)로 표현하는 것 또한 가능하다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
&cos\ x = \frac{1}{2} \left(e^{ix}+e^{-ix} \right)
\\\\&sin\ x = \frac{1}{2i} \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)
\end{split}\end{eqnarray}$
푸리에 급수는 $sin, cos$ 함수 만으로 이루어져있었기 때문에, 이 공식을 이용하면 지수함수 형태로 표현하는 것 또한 가능해진다. 식이 더 복잡해질지 아닌지에 대해서는 해보지 않으면 모르지만, 결과부터 말하자면 굉장히 간단해진다.
$\begin{eqnarray} f \left(x \right) = \frac{1}{2} a_{0} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[ a_{n} cos \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) + b_{n} sin \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) \right] \end{eqnarray}$
단, $a_n, b_n$ 은 다음과 같다.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
&a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f \left(x \right) cos \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) dx
\\\\& b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f \left(x \right) sin \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) dx
\end{split}\end{eqnarray}$
자, 그럼 이제부터 오일러 공식을 이용해 복소 푸리에 급수 전개를 해보자. 식$(3)$ 에 $(2)$ 를 대입하자.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
f \left(x \right) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[{ a_{n} \cdot \frac{1}{2} \left(e^{i\frac{2\pi}{L} nx}+e^{-i\frac{2\pi}{L} nx} \right) + b_{n} \cdot \frac{-i}{2} \left(e^{i\frac{2\pi}{L} nx}-e^{-i\frac{2\pi}{L} nx} \right) }\right]
\\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[{ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} \right]
\\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}}}
\\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \sum^{-\infty}_{n=-1} { \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx}}}
\end{split}\end{eqnarray}$
여기서 잠깐 새로운 변수 $c_n$ 을 정의해서
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} \equiv &\frac{1}{2} \left(a_n-ib_n \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n<0)
\\\\& \frac{1}{2} \left(a_{-n}+ib_{-n} \right) \ \ \ \ (n<0)
\end{split}\end{eqnarray}$
위 식에 대입하면,
$\begin{eqnarray}\begin{split}
f \left(x \right) &= c_0 + \sum^{\infty}_{n=1} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} + \sum^{-\infty}_{n=-1} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }}
\\\\&= \sum^{\infty}_{-\infty} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }}
\end{split}\end{eqnarray}$
이와 같이, 굉장히 깔끔한 공식이 완성된다. $c_n$ 의 정의는 현재 $a_n, b_n$ 으로 표현되고 있다. 그렇다면, 이 변수 또한 지수함수로 바꿔보자.
$n>0$ 의 경우
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} &= \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}
\\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) - i sin\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx
\end{split}\end{eqnarray}$
$n<0$ 의 경우
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} &= \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}
\\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(-\frac{2\pi}{L} nx \right) + i sin\left(-\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx
\\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) - i sin\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx
\end{split}\end{eqnarray}$
마지막으로, $n=0$ 의 경우
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{0} = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) } dx
\end{split}\end{eqnarray}$
식$(10)$ 또한 $(8), (9)$ 에 $n=0$ 을 대입한 결과가 같다. 즉, $c_n$ 은 나눠서 생각할 필요가 없다는 것이 여기서 증명된다.
이와 같이, 식 $(7), (9)$ 처럼 표현되는 푸리에 급수를 「복소 푸리에 급수」 라고 한다.
푸리에 급수의 미분
복소 푸리에 급수의 장점은 깔끔한 공식뿐만이 아니다. 미적분 계산을 함에 있어서 삼각함수보다 지수함수가 더 편하다는 것은 잘 알고있을 것이다. 바로 여기서 복소 푸리에 급수의 진정한 힘이 나온다.
식 $(7)$ 을 미분해보면, 그 결과는
$\begin{eqnarray}\begin{split}
f^{'} \left(x \right) = \sum^{\infty}_{-\infty} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} \cdot \left(i\frac{2\pi}{L} nx \right)
\end{split}\end{eqnarray}$
위와 같이, 식 전체에 $i\frac{2\pi}{L}nx$ 를 곱한 것과 같다. 이 식이 항상 성립하는 것은 아니지만, 함수 $f(x)$ 가 연속이며, 그 도함수 또한 부분적으로 연속일 경우에 성립한다.
식 $(7)$ 을 미분해보면, 그 결과는
$\begin{eqnarray}\begin{split}
f^{'} \left(x \right) = \sum^{\infty}_{-\infty} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} \cdot \left(i\frac{2\pi}{L} nx \right)
\end{split}\end{eqnarray}$
위와 같이, 식 전체에 $i\frac{2\pi}{L}nx$ 를 곱한 것과 같다. 이 식이 항상 성립하는 것은 아니지만, 함수 $f(x)$ 가 연속이며, 그 도함수 또한 부분적으로 연속일 경우에 성립한다.
$c_n$ 에 대하여
우리가 위에서 도출한 $c_n$ 은 복소수이지만, $c_n$ 으로 표현되어있는 $f(x)$ 는 확실한 실수이다. 그렇다면, 이 식이 맞는지에 대해서 한 번 확인을 할 필요가 있다.
식 $(9)$ 를 실수와 허수로 나누어 써보자.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} &= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) \left[cos \left(-\frac{2L}{L} nx \right) + isin \left(-\frac{2L}{L} nx \right)\right]} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) cos \left(\frac{2L}{L} nx \right) } dx - \frac{i}{L} \int_{0}^{L} {f(x) sin \left(\frac{2L}{L} nx \right) } dx
\end{split}\end{eqnarray}$
만약, $n$ 이 음수라면 허수부분의 부호가 바뀌는 것외에 변화는 없다. 따라서,
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{-n} = c^{*}_{n}
\end{split}\end{eqnarray}$
와 같이 켤레복소수의 관계에 있다는 것을 알 수 있다.
$f(x), f^{'}(x)$ 가 둘 다 연속인 경우, 평등수렴
$f(x)$ 가 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 평등수렴
$f(x)$ 가 부분적으로 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴 한다.
식 $(9)$ 를 실수와 허수로 나누어 써보자.
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{n} &= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) \left[cos \left(-\frac{2L}{L} nx \right) + isin \left(-\frac{2L}{L} nx \right)\right]} dx
\\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) cos \left(\frac{2L}{L} nx \right) } dx - \frac{i}{L} \int_{0}^{L} {f(x) sin \left(\frac{2L}{L} nx \right) } dx
\end{split}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}\begin{split}
c_{-n} = c^{*}_{n}
\end{split}\end{eqnarray}$
와 같이 켤레복소수의 관계에 있다는 것을 알 수 있다.
$f(x), f^{'}(x)$ 가 둘 다 연속인 경우, 평등수렴
$f(x)$ 가 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 평등수렴
$f(x)$ 가 부분적으로 연속이고, $f^{'}(x)$ 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴 한다.
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