Processing math: 100%

Post list

2015년 12월 9일 수요일

3. 복소 푸리에 급수 (Complex Fourier series)

                                                                                                                                                  

오일러 공식(Euler's formula)

복소수에 대해서 배울 때, 다음과 같은 오일러 공식이 나온다.

\begin{eqnarray}\begin{split} e^{ix} = cos\ x+i \cdot sin\ x \end{split}\end{eqnarray}

이 공식을 이용하면, 삼각함수(trigonometric function)를 지수함수(exponential fuction)로 표현하는 것 또한 가능하다.

\begin{eqnarray}\begin{split} &cos\ x = \frac{1}{2} \left(e^{ix}+e^{-ix} \right) \\\\&sin\ x = \frac{1}{2i} \left(e^{ix}-e^{-ix}\right) \end{split}\end{eqnarray}

푸리에 급수는  sin, cos 함수 만으로 이루어져있었기 때문에, 이 공식을 이용하면 지수함수 형태로 표현하는 것 또한 가능해진다. 식이 더 복잡해질지 아닌지에 대해서는 해보지 않으면 모르지만, 결과부터 말하자면 굉장히 간단해진다.

\begin{eqnarray} f \left(x \right) = \frac{1}{2} a_{0} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[ a_{n} cos \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) + b_{n} sin \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) \right] \end{eqnarray}

단, a_n, b_n 은 다음과 같다.

\begin{eqnarray}\begin{split} &a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f \left(x \right) cos \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) dx \\\\& b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f \left(x \right) sin \left( \frac{2\pi}{L} nx \right) dx \end{split}\end{eqnarray}

자, 그럼 이제부터 오일러 공식을 이용해 복소 푸리에 급수 전개를 해보자. 식(3)(2) 를 대입하자.

\begin{eqnarray}\begin{split} f \left(x \right) &= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[{ a_{n} \cdot \frac{1}{2} \left(e^{i\frac{2\pi}{L} nx}+e^{-i\frac{2\pi}{L} nx} \right) + b_{n} \cdot \frac{-i}{2} \left(e^{i\frac{2\pi}{L} nx}-e^{-i\frac{2\pi}{L} nx} \right) }\right] \\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} \left[{ \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} \right] \\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}}} \\\\&= \frac{a_{0}}{2} + \sum^{\infty}_{n=1} { \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx} + \sum^{-\infty}_{n=-1} { \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} e^{i\frac{2\pi}{L} nx}}} \end{split}\end{eqnarray}

여기서 잠깐 새로운 변수 c_n 을 정의해서

\begin{eqnarray}\begin{split} c_{n} \equiv &\frac{1}{2} \left(a_n-ib_n \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n<0) \\\\& \frac{1}{2} \left(a_{-n}+ib_{-n} \right) \ \ \ \ (n<0) \end{split}\end{eqnarray}

위 식에 대입하면,

\begin{eqnarray}\begin{split} f \left(x \right) &= c_0 + \sum^{\infty}_{n=1} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} + \sum^{-\infty}_{n=-1} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} \\\\&= \sum^{\infty}_{-\infty} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} \end{split}\end{eqnarray}

이와 같이, 굉장히 깔끔한 공식이 완성된다. c_n 의 정의는 현재 a_n, b_n 으로 표현되고 있다. 그렇다면, 이 변수 또한 지수함수로 바꿔보자.

n>0 의 경우
\begin{eqnarray}\begin{split} c_{n} &= \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} \\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) - i sin\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx \\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx \end{split}\end{eqnarray}

n<0 의 경우
\begin{eqnarray}\begin{split} c_{n} &= \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} \\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(-\frac{2\pi}{L} nx \right) + i sin\left(-\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx \\\\&= \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2}L} \int_{0}^{L} {f(x)\left[cos\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) - i sin\left(\frac{2\pi}{L} nx \right) \right]} dx \\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx \end{split}\end{eqnarray}

마지막으로, n=0 의 경우

\begin{eqnarray}\begin{split} c_{0} = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) } dx \end{split}\end{eqnarray}

(10) 또한 (8), (9)n=0 을 대입한 결과가 같다. 즉, c_n 은 나눠서 생각할 필요가 없다는 것이 여기서 증명된다.

이와 같이, 식 (7), (9) 처럼 표현되는 푸리에 급수를 「복소 푸리에 급수」 라고 한다.
                                                                                                                                                  

푸리에 급수의 미분

복소 푸리에 급수의 장점은 깔끔한 공식뿐만이 아니다. 미적분 계산을 함에 있어서 삼각함수보다 지수함수가 더 편하다는 것은 잘 알고있을 것이다. 바로 여기서 복소 푸리에 급수의 진정한 힘이 나온다.

(7) 을 미분해보면, 그 결과는

\begin{eqnarray}\begin{split} f^{'} \left(x \right) = \sum^{\infty}_{-\infty} { c_{n} \cdot e^{i\frac{2\pi}{L} nx }} \cdot \left(i\frac{2\pi}{L} nx \right) \end{split}\end{eqnarray}

위와 같이, 식 전체에 i\frac{2\pi}{L}nx 를 곱한 것과 같다. 이 식이 항상 성립하는 것은 아니지만, 함수 f(x) 가 연속이며, 그 도함수 또한 부분적으로 연속일 경우에 성립한다.
                                                                                                                                                  

c_n 에 대하여

우리가 위에서 도출한 c_n 은 복소수이지만, c_n 으로 표현되어있는 f(x) 는 확실한 실수이다. 그렇다면, 이 식이 맞는지에 대해서 한 번 확인을 할 필요가 있다.

(9) 를 실수와 허수로 나누어 써보자.

\begin{eqnarray}\begin{split} c_{n} &= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) e^{-i\frac{2\pi}{L} nx}} dx \\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) \left[cos \left(-\frac{2L}{L} nx \right) + isin \left(-\frac{2L}{L} nx \right)\right]} dx \\\\&= \frac{1}{L} \int_{0}^{L} {f(x) cos \left(\frac{2L}{L} nx \right) } dx - \frac{i}{L} \int_{0}^{L} {f(x) sin \left(\frac{2L}{L} nx \right) } dx \end{split}\end{eqnarray}

만약, n 이 음수라면 허수부분의 부호가 바뀌는 것외에 변화는 없다. 따라서,

\begin{eqnarray}\begin{split} c_{-n} = c^{*}_{n} \end{split}\end{eqnarray}

와 같이 켤레복소수의 관계에 있다는 것을 알 수 있다.
f(x), f^{'}(x) 가 둘 다 연속인 경우, 평등수렴
f(x) 가 연속이고, f^{'}(x) 가 부분적으로 연속인 경우, 평등수렴
f(x) 가 부분적으로 연속이고, f^{'}(x) 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴 한다.

                                                                                                                                                  

[이전 글] 2. 푸리에 급수의 수렴 (Convergence of Fourier series)

2. 푸리에 급수의 수렴 (Convergence of Fourier series)

                                                                                                                                                  

수렴에 대하여

주기 2L 로 반복하는 주기함수 f(x) 는 다음과 같은 푸리에 급수로 나타낼 수 있다는 얘기를 했다.

\begin{eqnarray}f\left(x\right) = \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right] \end{eqnarray}

하지만, 모든 주기함수에 있어서 등호가 성립하는가? 라는 의문에 대해서는 아직 확실하게 하지않았다.

이 급수의 우변이 첫번째 항부터 m 번째 항까지만 더해진 함수를 f_m(x) 라고 하자. 이 때, \{f_1(x), f_2(x), f_3(x), ...\} 와 같은 함수열이 생길 것이다. 이 함수열이 조금씩 함수 f(x) 에 접근하는지에 대해 확인하기 위해서, |f(x)-f_m(x)| 를 생각해보자. m \rightarrow \infty 일 때, 이 값이 0 이 된다면 무한급수 f(x) 는 수렴한다고 표현할 수 있다. 즉, 식(1) 에서 등호가 의미하는 것은 이런 것이다.

\begin{eqnarray} \lim_{m \rightarrow \infty} |f\left(x\right)-f_m\left(x\right)| = 0 \end{eqnarray}

                                                                                                                                                  

수렴의 종류

잠시 푸리에 급수에 대한 얘기를 접어두고, 함수열에 대해서 이야기하자. 함수열 \{f_1(x), f_2(x), f_3(x), ...\} 가 수렴한다고 해도, 수렴의 방식에는 여러가지가 있다.
(자세한 것은 수학에서 공부할 것..)

우선, 함수 전체를 보는 것이 아닌, 변수 x 를 예를 들어서 x_0 에 고정한 임의의 점만을 관찰하자. 이 때, m 이 증가함에 따라서 f_m(x_0) 가 점점 f(x_0) 에 가까워진다고 하자. 이와 같은 수렴이 x=x_0 에서만이 아닌 다른 곳에서도 일어난다고 하면, 그것을 「각점수렴」 (pointwise convergence)이라고 한다.

이번에는, 처음부터 함수의 전체를 보도록 하자. f_m(x)f(x) 의 어긋남의 크기가 함수 어느 부분이건 일정 범위를 벗어나지 않고, m 이 증가함에 따라서 그 범위의 폭이 0 에 가까워져 간다면, 그것을 「평등수렴」(uniform convergence) 이라고 한다.

위의 두 개의 수렴은 닮았지만 조금은 다르다. 평등수렴이 상위개념이다.

마지막으로, 「평균수렴」(mean convergence) 이 있다. 계산이 가능한 다음 식의 정적분 값 I_mm 이 증가함에 따라 0 에 가까워지는 수렴이다.

\begin{eqnarray} I_m = \int \left[ f(x)-f_m(x) \right]^2\cdot dx\end{eqnarray}

어떤 의미로는, 전체 오차의 평균을 계산하고 있는 것 같은 식이다. 

                                                                                                                                                  

푸리에 급수의 수렴

자, 이제 다시 푸리에 급수로 돌아오자. 푸리에 급수의 경우에는 어떤 때에 어떤 종류의 수렴이 성립하고 있다고 말할 수 있을까?

간단하게 결과만 말하고 넘어가자.

f(x), f^{'}(x) 가 둘 다 연속인 경우, 평등수렴
f(x) 가 연속이고, f^{'}(x) 가 부분적으로 연속인 경우, 평등수렴
f(x) 가 부분적으로 연속이고, f^{'}(x) 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴 한다.

                                                                                                                                                  

수렴하지 않는 함수의 예

앞서 말한 내용과 같다면, 대부분의 함수에서 푸리에 급수가 수렴한다고 말할 수 있을 것 같다. 그렇다면, 수렴하지 않는 함수는 무엇이 있을까? 도중에 무한대가 되는 함수가 있다. 가장 대표적인 예로 tan\ x\frac{1}{x} 이 있다.

\frac{1}{x} 이 간단해보이므로 한 번 계산해보자.
적분 범위를 -L\le x \le +L 로 하면, \frac{1}{x} 는 기함수이기 때문에 sin 함수만으로 전개된다.

\begin{eqnarray}\begin{split} b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} {\frac{1}{x} sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right) \cdot dx} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} {\frac{1}{x} sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right) \cdot dx} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{1}{\frac{L}{\pi}s} sin \left( ns \right) \cdot \left( \frac{L}{\pi} \right) ds} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{1}{s} sin \left( ns \right) \cdot ds} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{1}{\frac{1}{n}t} sin \left( t \right) \cdot \left( \frac{1}{n} \right) dt} \\\\&= \frac{2}{L} \int_{0}^{\pi} {\frac{sin t}{t} \cdot dt} \\\\&= \frac{2}{L}Si(\pi n) \end{split}\end{eqnarray}

Si(x) 의 그래프는 다음과 같다.

                      그림1.
따라서, b_n 은 수렴하지 않는다는 것을 알았다.

                          그림2.
항의 갯수가 아무리 늘어나더라도 진동이 격해질 뿐, 함수 원래의 모습은 보이지 않는다.

                                                                                                                                                  

델타함수의 푸리에 급수

델타함수는 푸리에 급수가 수렴하지 않는 함수 중 하나이다. 델타함수는 무한값을 갖는 어떤 점을 갖고있기 때문이다. 지금부터 델타함수의 푸리에 급수가 어떻게 되는지 알아보자.


\begin{eqnarray}\begin{split} &a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\delta(x)cos \left( n\frac{\pi}{L}x \right)\cdot dx = \frac{1}{L}cos\ 0 = \frac{1}{L} \\\\&b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\delta(x)sin \left( n\frac{\pi}{L}x \right)\cdot dx = \frac{1}{L}sin\ 0 = 0 \end{split}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{split} \therefore F \left[ \delta(x) \right] = \frac{1}{L} \left[ 1+cos \left( \frac{\pi}{L}x \right)+cos \left( 2\frac{\pi}{L}x \right)+cos \left( 3\frac{\pi}{L}x \right)+ \cdots \right] \end{split}\end{eqnarray}


                          그림3.

                                                                                                                                                  

깁스 현상(Gibbs phenomenon)

여러가지 함수의 푸리에 급수를 전개해보면, 적은 항으로도 함수 원래의 모양이 재현되는 경우가 있는 반면에, 아무리 많은 항을 더하더라도 재현되지 않는 경우도 있다. 그 차이는 어디에 있는 걸까?

갑작스런 모양의 변화가 없이 연속적인 함수에 비해, 중간에 불연속점이 있거나 연속이라 할지라도 구형파와 같은 형태의 경우는 푸리에 급수 전개를 했을 때, 함수의 원래 모양이 잘 재현되지 않는다. 급격한 갭의 전후로 overshoot & undershoot 이 발생하고, 이 부분은 항을 늘려도 없어지지 않는다.

                     [그림 5] 푸리에 급수의 깁스 현상 (출처 : wikipedia.org) 

위 그림과 같이 overshoot & undershoot 이 발생하는 현상을 「깁스 현상」 (Gibbs phenomenon) 이라고 한다. 

overshoot & undershoot 의 돌출부는 항의 수를 아무리 증가시켜도 없어지지 않는다. 최종적으로 그 돌출의 크기는 불연속적인 갭의 9%의 크기를 갖게된다고 알려져있다. 이 깁스현상이 f(x) 가 부분적으로 연속이고, f^{'}(x) 가 부분적으로 연속인 경우, 각점수렴하는 원인이다.

\begin{eqnarray} {\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} {\frac{sin t}{t} \cdot dt} -1} \simeq 0.17898 = 2 \times 0.08949 \end{eqnarray}

이 깁스 현상에 의한 돌출부는 푸리에 급수의 항을 늘리면 늘릴수록 그 폭은 점점 불연속점을 향해 좁아진다. 
       
                                                                                                                                                  

베셀의 부등식

이번에는 꽤 넓은 범위에서 수렴의 판단에 사용되는 평균수렴 식(2)에 대해서 알아보자. 식(2) 를 조금 풀어서 쓰면 식(8) 과 같이 된다.

\begin{eqnarray}\begin{split} I_m &= \int_{0}^{2L} \left[ f(x)-f_m(x) \right]^2\cdot dx \\\\&= \int_{0}^{2L} \left[ f(x)^{2}-2f(x)f_m(x)+f_{m}(x)^{2} \right] \cdot dx \\\\&= \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx -2\int_{0}^{2L} f(x)f_m(x) \cdot dx+\int_{0}^{2L} f_{m}(x)^{2} \cdot dx \end{split}\end{eqnarray}



위의 식에서 1 번째 항은 그대로 두고, 2, 3 번째 항을 계산해보자.
\begin{eqnarray}\begin{split} -2\int_{0}^{2L} f(x)f_m(x) \cdot dx &= -2\int_{0}^{2L} \{\frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot \{\frac{a_0}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot dx \\\\&= -2 \left[ \frac{a_0^{2}}{4}2L+\sum^{m}_{n=1} L \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \\\\ \int_{0}^{2L} f_{m}(x)^{2} \cdot dx &= -2\int_{0}^{2L} \{\frac{a_0}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot \{\frac{a_0}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right]\} \cdot dx \\\\&= \left[ \frac{a_0^{2}}{4}2L+\sum^{m}_{n=1} L \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \end{split}\end{eqnarray}



결과 식(9) 를 식(8) 에 대입하면, 다음과 같은 식이 얻어진다.
I_m 은 평균수렴에 대한 지표이며, 0 이상의 값을 갖는다.
\begin{eqnarray}\begin{split} I_m &= \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx -2\int_{0}^{2L} f(x)f_m(x) \cdot dx+\int_{0}^{2L} f_{m}(x)^{2} \cdot dx \\\\&= \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx - L \left[ \frac{a_0^{2}}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \geq 0 \end{split}\end{eqnarray}



\begin{eqnarray}\begin{split} \therefore \int_{0}^{2L} f(x)^2 \cdot dx \geq L \left[ \frac{a_0^{2}}{2}+\sum^{m}_{n=1} \left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2} \right) \right] \end{split}\end{eqnarray}

계산결과 얻어진 이 부등식을 「베셀의 부등식」(Bessel's inequality) 이라고 하며, 등호가 성립할 때는 「파르세발의 등식」(Parseval's theorem) 이라고 한다.

                                                                                                                                                  



[다음 글] 3. 복소 푸리에 급수 (Complex Fourier series)

[이전 글] 1. 푸리에 급수의 기본 (The basis of Fourier series)

1. 푸리에 급수의 기본 (The basis of Fourier series)

                                                                                                                                                  

기본공식

우선, 0\le x\le 2\pi 의 범위에서 연속인 함수 f\left(x\right) 를 생각하자. 푸리에 급수는 주기함수(periodic function)가 어떠한 형태를 하고 있는지 관계없이 삼각함수(trigonometric function)의 무한급수(infinite series)로 표현할 수 있는 놀라운 공식이다.

\begin{eqnarray} f\left(x\right) = c + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {a_n{cos(nx)}+b_n{sin(nx)}} \right] \end{eqnarray}

그럼, 위 공식은 정말 「어떠한 형태의 함수라도」 전부 나타낼 수 있을까? 그렇지 않다.

sin, cos 둘 다 위아래 같은 폭으로 진동하고 있기 때문에, 함수의 평균값은 0 이 된다. 따라서, sin, cos 을 아무리 더한다 하더라도 결국 평균값이 0 인 함수 외에는 표현할 수가 없다. 이러한 약점을 보완하기 위해서 평균값인 c 를 식에 도입시켰다.

                                                                                                                                                  

계수를 구하는 방법

왜 이러한 공식이 성립하는지에 대한 설명은 나중으로 하고, 식(1)에서 나온 계수 a_n, b_n 값을 어떻게 결정하면 식(1) 이 성립할지에 대해서 설명하고자 한다.

그 전에, c 는 함수 f(x) 의 평균값이기 때문에, 다음과 같은 계산을 하면 그 값을 알 수 있다.

\begin{eqnarray}c = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cdot dx\end{eqnarray}

계수 a_n, b_n 또한 식(2) 와 비슷하며, 다음과 같이 구할 수 있다.

\begin{eqnarray}\begin{split}a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)cos(nx)\cdot dx\\\\b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)sin(nx)\cdot dx\end{split}\end{eqnarray}

(3) 를 보면 왜 2\pi 로 나누지 않았는지, 왜 sin, cos 함수를 곱해서 적분을 했는지 등등 여러가지 의문이 생길지도 모르겠다. 이제부터 하나씩 고민을 해보자.

a_n 에 관한 식을 보면,  cos(nx)f(x) 를 곱해서 적분하고 있다. 즉, 0\le x\le 2\pi 의 범위내에서 cos(nx)f(x) 가 비슷한 움직임을 보인다면 결과는 크게 나올것이고, 그렇지 않다면 서로 상쇄되어 작게 나올 것이라 예상할 수 있다. 요컨대, f(x) 중에서 cos(nx) 와 비슷한 움직임을 보이는 성분이 어느정도 있는지를 보여주는 작업이라 생각할 수 있다. 따라서, 0\le x\le 2\pi 의 범위에 걸쳐서 적분을 하고 있기 때문에, 그 평균을 구하기 위해 2\pi 로 나누었다고 한다면 어느정도 의미는 이어질 것 같으나, \pi 로 나누고 있다. 이것은 b_n 에 대해서도 마찬가지이다.

(2)(3) 은 그 모양이 굉장히 비슷하다. 식(3) 에서 n=0 을 대입하면, cos\ 0=1 이 되기 때문에, 식(2) 와 모양이 동일한 식이 된다. 즉, 계산을 해보면 c=a_0/2 가 되고, 이 결과를 식(1) 에 대입하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

\begin{eqnarray} f\left(x\right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ {a_n{cos(nx)}+b_n{sin(nx)}} \right] \end{eqnarray}

(1), (4) 와 같이, 무한한 삼각함수의 합만으로 나타내어지는 급수를 「푸리에 급수」라 한다.

                                                                                                                                                  

공식이 성립하는 이유

                          [그림1] sin, cos 함수의 직교성 (출처 :  wikipedia.org)

푸리에 급수의 계수가 식(3) 과 같이 구해지는 이유를 알기위해서, 다음의 식을 알아보자.

\begin{eqnarray}\begin{split}&\int_{0}^{2\pi}cos(mx) cos(nx)\cdot dx = \pi \delta_{m,n}\\\\&\int_{0}^{2\pi}sin(mx) sin(nx)\cdot dx = \pi \delta_{m,n}\\\\&\int_{0}^{2\pi}sin(mx) cos(nx)\cdot dx = 0\end{split}\end{eqnarray}

단, m, n 은 양의 정수이다. 오른쪽의 \delta_{m,n} 은 Kronecker delta 라는 것으로, m=n 이면 1 이고, m\neq n 이면 0 이라는 것을 의미한다.

Proof)
1)\ m\neq n
\begin{eqnarray}\begin{split}\int_{0}^{2\pi}cos(mx) cos(nx)\cdot dx &= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\{cos(m+n)x+cos(m-n)x\} \cdot dx \\\\&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{m+n}sin(m+n)x+\frac{1}{m-n}sin(m-n)x\right]_{0}^{2\pi} \\\\&= 0\end{split}\end{eqnarray}


2)\ m=n
\begin{eqnarray}\begin{split}\int_{0}^{2\pi}cos(mx) cos(nx)\cdot dx &= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\{cos(m+n)x+cos(m-n)x\} \cdot dx \\\\&= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\{cos(m+n)x+1\} \cdot dx \\\\&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{m+n}sin(m+n)x+x\right]_{0}^{2\pi} \\\\&= \pi \end{split}\end{eqnarray}

(5) 은 다음과 같은정말 중요한 사실을 알려준다. \{cos\ x, cos\ 2x, ..., sin\ x, sin\ 2x, ...\} 라는 함수들의 집합은 서로 곱하여 적분했을 때, 어떤 조합이더라도 0 이외의 값을 가지지 않는다. 단, 자기자신과의 곱일 경우는 \pi 가 된다.

자 이제, 다시 식(3) 을 한 번 살펴보자. 식(3) 의 우변에는 f(x) 가 들어있다. f(x) 는 식(1) 과 같이 나타내어진다는 것을 가정하여, 식(3)의 우변에 대입하자. 그리고, 계산은 방금 위에서 계산한 식(5)의 결과를 이용하면, 식(3) 의 좌변과 동일하게 되는 것을 알 수 있다. 또한, 아까 위에서 말했던, 식(3) 을 보면 왜 2\pi 로 나누지 않았는지에 대한 의문이 풀린다. 별 의미 없이 식(6) 의 계산값으로 \pi 가 나오기 때문이다.

                                                                                                                                                  

주기의 일반화

지금까지, 0\le x\le 2\pi 의 범위만 생각했다. 하지만, sin, cos 함수는 주기함수이므로, 이 범위 외에서도 같은 움직임을 몇 번이고 반복한다. 식(4) 처럼 나타낸 함수f(x) 에 대해서도 주기 2\pi 로 같은 움직임을 반복한다.

지금까지는 모든 공식을 0\le x\le 2\pi 의 범위에서 적분했지만, 하나의 주기에 걸쳐서 적분을 한다면 그 결과는 항상 동일하기 때문에, 범위를 바꾸어 적분해도 문제는 없다. 예를 들어, -\pi\le x\le \pi 의 범위에서 적분을 해도 그 값은 동일하다.

그러면, 이제는 주기가 2\pi 가 아닌 2L 의 경우로 확장시켜 생각을 해보자.

\begin{eqnarray}f\left(x\right) = \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty }_{n=1} \left[ {a_n{cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)}+b_n{sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)} } \right] \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{split}a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{+L}f(x)cos \left(n \frac{\pi}{L} x \right)\cdot dx\\\\b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{+L}f(x)sin \left(n \frac{\pi}{L} x \right)\cdot dx\end{split}\end{eqnarray}

(8), (9) 가 주기가 2L 인 경우로 확장한 푸리에 급수의 공식이다.

                                                                                                                                                  

우함수(even function)와 기함수(odd function)

sin 함수는 기함수이고, cos 함수는 우함수이다. 만약, 어떠한 함수라도 푸리에 급수로 표현할 수 있다면, 어떤 함수라도 우함수와 기함수로 나누어서 표현할 수 있어야 한다. 함수 f(x) 의 우함수 성분을 f_even, 기함수 성분을 f_odd 라고 하면,

\begin{eqnarray}\begin{split} f_{even} = \frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2} \\\\f_{odd} = \frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{split}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(x\right) = f_{even}+f_{odd}\end{eqnarray}

위와 같은 식으로 표현이 가능하며, 이 결과를 식(4) 과 같이 한 번 생각해보자.
만약, 함수 f(x) 가 우함수라면 cos 함수만으로 표현이 될 수 있고, f(x) 가 기함수라면 sin 함수만으로 표현이 될 수 있다. 즉,

\begin{eqnarray}\begin{split} If\   f\left(x\right)\ is\ even&,\  b_n = 0 \\\\ odd&,\  a_n = 0\end{split}\end{eqnarray}

식$(12) 와 같은 관계가 얻어진다는 것을 알 수가 있다.

                                                                                                                                                  

[다음 글] 2. 푸리에 급수의 수렴 (Convergence of Fourier series)